§8. 解的时空对称性

据（4－37）式，时空波的四维轨道弧长为

                      (4-37)

其中为空间轨道弧长，如果沿着空间轨道写下波动方程，则应该具有二维形式。因为其时空变量分别为，故其度量应为

                           (4-75)

于是波动方程退化为一维空间的线性波动方程：

 .                       (4-76)

设其柯西问题满足如下初始条件：

,         (4-77)

则可得行波解为

        (4-78)

据（4－37）式，可知

                          (4-79)

式中。上式积分为

                           (4-80)

将引式代入行波解（4－78），其中第一项将具如下形式：

                    (4-81)

由于是微商积的函数，故引式是的一阶非线性方程，而待定函数必须满足此方程。（4－78）的每一项都如此代入，则可得三维空间的非线性波动方程（4－29）的行波解的可取形式。但是本章不准备继续讨论解的具体问题。值得指出的是，按照（4－37）式：，可知有

                   (4-82)

此式左端是孤波三维轨道弧长平方，而右端则是三维虚长波矢量的矢端迹弧长平方，此式表现的对称性说明，波矢量在虚三维空间（时间）的转动与波在实三维空间的传播轨道的弯曲之间有一定的关系。这种对称性也提示，非线性波动方程（4－29）可以有对称形态的方程存在，即与对调的方程，那将可用于描述虚三维时间I3的波动，其三维波矢量是实长：这样的研究就将进入对零上限世界的探讨，那将是十分有趣的课题。华严经介绍的华藏世界广狭无碍、互具互摄的奇异境界确实与零上限空间的互内和非逻辑性相当吻合。不过要从物理科学角度证明这报身境界不是虚拟幻境而是物理实在[注二]，则要依赖于对波动方程求解。