及
，从而使相互作用方程得以简化。但是对于卍时空波动方程（4－29）的相互作用方程就一般不能进行这种分离，因而共存解的相互作用方程不会呈现简单的形式。波动方程（4－29）的非线性主要来源于度量张量
在
时的分量。表达式（4－29）显示出
实际上是一个一阶非线性偏微分算子，分析这个算子的非线性，就可判断共存孤波解之间的相互作用状况。
表达式（4－66）之中曾分离出两个完整的算子及，从而使相互作用方程得以简化。但是对于卍时空波动方程（4－29）的相互作用方程就一般不能进行这种分离，因而共存解的相互作用方程不会呈现简单的形式。波动方程（4－29）的非线性主要来源于度量张量在时的分量。表达式（4－29）显示出实际上是一个一阶非线性偏微分算子，分析这个算子的非线性，就可判断共存孤波解之间的相互作用状况。
设有两个独立的孤波解
和
，二者共存情况下度量为
亦即
（4-70）
可以直接验证
＝１，而当，式中
，现在来看一看Ａ、Ｂ两波相离的情况下，（4－70）会变成什么样子。
（图4-5）
图4—5中，弧波期和相离，其相边界
和
不相交。这种情况下，在
不恒为零的地点，
必恒为零，反之亦然。于是（4－70）式中Ａ、Ｂ混合积的所有项均变为零。于是（4－70）式变成
(4-71)
对于同样理由，又可写成
(4-72)
由于＝１与相互作用无关，故不必考虑在内。于是上式就表示：
(4-73)
此式说明两孤波和之间并无相互作用。
然而就这种相离的情况而言，孤波之间实际上应该普遍地存在相互作用。如果考虑到孤波对其相边界之外的空间会有影响，就可以解释这种相互作用。实际上，假设相边界W上任一点P(
)，其上的波函数为
,
(4-74)
宗量之中只有
t
不是常数，因此
随时间
t
的波动过程会在相边界每一点上全部实现，从而必然对相边界外部的自由空间产生扰动。这一周期性扰动若以线性波方式传播出去，则其所到之处必引起度量波动，从而影响其它弧波的运动。这种线性波将被称为孤波的溢出。显然溢出波的频率应该等于相波前的胀缩频率，这使得整个情况很象敲打一个钟而使远处的另一个钟发生共振一般，理论上应该只有轨道频率相同的孤波才会互相影响，而且，仅限于库伦类型的相互作用，因为溢出波波前总曲率必然与距离平方成反比。
考虑溢出的情况下，前述度量表达式（4－70）之中，Ａ、Ｂ二者必有一个是溢出波。如果求的孤波解，则只有溢出波会与 叠加。而溢出波可以看作是已知的线性波，它引起的度量波动
亦可看成是已知的。于是（4－70）就描述了溢出波对弧波的作用，反之亦然。图4－5用虚线弧表示的溢出波波前。
另一种情况是两个孤波相交，亦即两个相边界相交。这种情况下，
（图4-5）
度量（4－70）不能被简化。代入波动方程后将得到一个繁杂的相互作用方程，(4—73)亦不成立，因此必有相互作用存在。从图4－6可以看出，对每个孤波而言，相交部份意味着中心对称条件被破坏，相边界的球形发生畸变，从而两个孤波必须重新组织成一个统一体系，包括两个变形孤波及其相对非惯性运动——即相互作用在内。而这种情况下的相互作用则不必遵守库伦平方反比定律。由此可以看出，这里所谓外力实际上是共存解的非线性现象。
总而言之，在满足共存解相互作用方程的条件下，孤波解之中应该包含了相互作用下的运动。加速运动看起来象是有外力作用，本质上却和惯性运动一样是孤波自己运动，是每一个非线性共存解的本具属性。