为某个微分方程的算子，而f1和f2为此方程的两个独立解，亦即同一时刻给定不同初始条件得到的解，而且根据前面讨论的孤波结构特征可以知道，孤波经过之处的空间度量 —— 非指孤波自身引起的度量 —— 的任何非欧几里德变化都会影响孤波的运动状态，亦即偏离惯性运动，这样便产生力学现象。孤波在卍时空理论中将扮演物质根本粒子的角色，孤波之间若不存在相互作用，则等于是不能被探测到的幽灵粒子。既然粒子由时空波动产生而非独立于时空之外，那么就不能设想从时空之外为这些粒子引进一整套力学法则。
实际上，波动方程的非线性既可以产生孤波，也可以产生相互作用。现在先就一般的非线性算子作一个简单的讨论。
设为某个微分方程的算子，而f1和f2为此方程的两个独立解，亦即同一时刻给定不同初始条件得到的解，而且
以及
（4-60）
若对于f1+f2有
(4-61)
则是线性算子。此式说明f1和f2两解共存情况下与各自单独存在情况下并无差别，每个解并不因为另一解共存而发生任何改变。这就意味着两解之间没有相互作用。
如果算子不满足（4－61），即
(4-62)
则为非线性算子。其实这就说明共存解会互相影响。考虑到每个独立解都是定义在一定时空域上的函数如
，表示此时空域上的某种规律，以后称方程所有解的定义域之和为此方程的统治域。如果一个非线性方程在其统治域上只允许一个独立解存在，那么此方程代表的规律并无实际意义。因为实际规律都具有一定的普遍性，至少要适用于两个以上独立事物。
实际上，在（4－62）式的条件下，若将算子依和式f1+f2展开，则会得到一个新的算子
，即
,
(4-63)
一般
与结构不同，其特征是关于f1、f2对称。如果能使
(4-64)
成立，则虽然是非线性算子，仍然可以实现
.
方程(4-64)称为原方程的相互作用方程，它描述共存解的相互依存系，也构成原方程的定解条件之一。这个理论实际上深刻地揭示了力学的本质。
作为一个例子，现在来求孤立子理论的Kortweg-deVries(K-dV)方程的相互作用方程。Ｋ-dV方程为：
(4-65)
下标t，x表示偏微商。设u(t,x),
v(t,x)为其两个独立解，现以u + v代入算子并展开：
(4-66)
亦即
（4-67）
显然，若方程
(4-68）
成立，则可使得u + v也是K-dV方程的解，即有
(4-69)
（4－68）就是K-dV方程的相互作用方程。
若有更多的独立解共存，则（4－68）将增加项数以包含所有独立解的两两混合积。而所有独立解定义域之和就是K-dV方程的统治域。