§4. 解的可能形态

实际上，的四维轨道应该是零长短程线，沿此线方向有

         (4-35)

据（4－22），此式变为

      (4-36)

亦即

                     (4-37)

其中为空间轨道弧长。据（4－22）又可得到

             (4-38)

亦可写成

    (4-39)

此式是波动空间关于度量（4－22）的二次形式，说明弧长的微分与矢径微分的二次关系。由于是波前上一点的运行轨道之弧长，而则是该点的矢经，故可据此分析波前形态。

根据分析，此式说明理论上存在三种可能的波前形态。

第一种情况是，当，所有的。据（4－39），可知

，                                (4-40)

即         ，                              (4-41)

这正是局部欧几里德空间的二次形式。此式容许弯曲轨道，但是由于, 故  退化为单位矩阵（见4－22式），从而使波动方程（4－29）退化为线性方程，于是轨道必须是直线，即

                          （4-42）

这是一个以原点为中心，s为半径的球面，对应一个普通线性波动程的行波解，在这里的情况下可称之为线性解。

第二种情形是，当，于是空间变成黎曼空间，而矢径只在原点O的切欧几里德空间有意义，在普遍情况下，则必有

，                           （4-43）

这说明会有两个不同的波前。一个是沿黎曼空间的短程线以绝对速度　　　 运动的所谓绝对波前，另一个则是矢径在原点O的切欧几里德空间内描述的所谓相对波前。以除（4－39）两边并考虑到（4－37），可知

         （4-44）

从此式可看出

                         （4-45）

即相对波前以相对速度运动，因而相应的解可称为慢波解。

值得注意的是，慢波实质上只是原点上的切欧几里德空间之中的一种假相，它的相对波前与绝对波前并不重合。

第三种情形较为特殊，现以Ｇ表示的行列式，则可能存在满足下列条件的解：

          (4-46)

前一个条件表示当时不都为零，因此波动方程不会退化成线性方程，因而其解可以不同于线性解。后一个条件则表示

                                (4-47)

成立，故与慢波解情形不同。由于Ｇ₁₂、Ｇ₂₃、Ｇ₃₁不都为零，则短程线方程

                   (4-48)

之中的联络系数亦不都为零，故而容许弯曲轨道存在，进而可知与矢径不必共线。特别是，如果出现此二者正交的情形：

,                               (4-49)

则轨道就可能返回原点。在这种情况下，矢径的长度必有一个有限的最大值：

                              (4-50)

亦可写成                         （4-51）这是以原点O为中心，m为半径的球面方程，波前不会超出此球面，因此可称之为相边界。而相边界内，的矢端迹表示的波前称为相波前。从外观上看，相波前应是一个以原点为中心周期地膨胀与收缩的球面，其法线速度是相对的。然而不要忘记，波前上每一点的轨道速度都是绝对的，因为由（4－47）、（4－37）可得

                      （4-52）

这种情形下的解将称为孤波解。图4－2是描述孤波的示意图。原点O为波源。波前上一点从原点出发，沿轨道弧长Ｓ1、Ｓ2、Ｓ3、Ｓ4、Ｓ5运动，最终返回原点。上述诸点的切矢量表示，而绝对波前面在每一点上与切矢量正交。图中仅以实线曲线表现出两条相反的轨道。虚线同心园表示相波前在不同时刻的球面形状，其半径为。最大的虚线园表示相边界W，其半径为m，其球面方程为（4－51）。

（图4—2）

孤波的绝对波前以绝对速度运行，因此这种波在任何参照系中都不会静止下来。于是可见，构成物质的根本成分是一些不停地自己运动的粒子。而孤波的相波前以相对速度膨胀和收缩，进而产生了可以实际观测到的相对运动。虽然绝对波前和相波前有如此的区别，二者却又是重合的 —— 凡绝对波前所到之处必是相波前之所在。由于轨道是周期闭合的，故轨道具波动性，从而可以预期会存在整波数条件和量子现象。而相边界W的存在又使得孤波具有明显的粒子特征。如此可见，孤波解是极富特色的解。

另外值得指出的一点是，圆形闭合轨道只是最简单的情形之一。实际上可能出现的闭合轨道如椭圆，多叶玫瑰线，或更复杂的曲线，这些轨道会使相波前的行为更趋复杂，从而使得孤波解呈现出不同种类，但是并不改变孤波具有粒子形态的的基本特征。