§3. 卍时空的波动方程

三维实长曲面的方程（4－15）之中，函数一开始就考虑作为波函数被引进，那么现在就该设计它的波动方程。

从曲面论角度看，一旦波动起来就会造成黎曼度量，于是这个波就必须在自己造成的黎曼空间之中传播，这正是空间波的特征所在。由于波动离不开时间，故必须考虑１＋３＝４维的赝黎曼空间 —— 即爱因斯坦时空的波动方程，其一般形式为：

            (4-28)                     

其中□为四维达朗贝算符，即

  (4-29)

式中的为逆变度量张量，其分量可按下式计算：

                        (4-30)

为协变张量的行列式，而微商则表示关于的代数余子式。这里的由（4－22）及（4－20）决定，而是必要条件。

此外，是联络系数上升秩标所得：

                             (4-31)

而则可由（4－24）―（4－27）诸式求得。至此，卍时空之中的三维实长曲面的波动方程已经确定。由于不仅是切度量，连法度量亦随其所在点的波动而变，故（4－29）可以被称作是时空波动方程。

如果把系数和都展开成波函数的微商形式，则整个方程会变得非常复杂，然而却可以明白显示出除波函数及其微商的组合之外，并不须引进其它独立函数作为度量张量。由于和包含波函数的一阶和二阶微商的非线性组合，可能使得方程的严格解不易求得，然而非线性又是特殊解的存在条件，要知道，线性波动方程不会存在粒子形态的解。而波动方程（4－29）的非线性来自两方面，一是每个分量波受自身造成的黎曼度量影响，二是三个分量波互相影响。二者都可以从度量张量的结构特征看出来。

度量的结构特征如（4－22）矩阵所示。从中可见：

，说明诸局部标架单位长度不变；，说明每个局部标架赝正交；

若，说明空间局部标架向量不正交；

同理，关于的非零值有同样结论；

同理，关于时间度量有同样的特征。

由于可取非零值，又由于其值由波函数决定，故可知沿方向的坐标曲线会与一样波动，而在物理上这就说明波的 传播轨道会随一起波动，根据量子力学的经验，波动轨道在闭合情况下会产生整波数条件及分立能级解。

波动方程（4－29）有没有沿闭合轨道传播的行波解，要在求出解之后才能知道。但根据的前述特征，至少存在形成闭合轨道的条件。假定一个轨道沿着方向（见４－17式），而向量的变化可以表示如下：

                 (4-32)

此式用到的是联络系数的定义。两边乘以但不对求和：

　                   (4-33)

据（4－24）第三式，可知

.                                (4-34)

这说明轨道的切向量与其变化率向量恒正交。这一条件非常适合于产生闭合轨道。

现在来看一看，是否存在沿闭合轨道传播的行波解。