§2. ３＋３＝６维赝欧几里德空间

本文在第二章已经证明实度量空间是零下限空间，而虚度量空间是零上限空间，二者内外相反。那么根据上文，它们应该构成一个太极系统。由式（3－1）到（3－4）组成的三级结构之中，第二级的阳可由三维实度量空间实现，而阴则可由三维虚度量空间实现。按照近代物理学观念，在不考虑物质的情况下，度量应具有欧几里德性质。因此虚、实空间既对立又统一的关系可以用一个３＋３＝６维的赝欧几里德空间实现，其中三维实，三维虚，度量与维度均对称。为了证明这个赝空间确实与太极结构一致，现在为此空间引进笛卡儿坐标系及其标架，见图3－2。

  （图3—2）

其中k，g =1,2,3. 这里及以后均规定，下标用英文字符表示实三维，用希腊字符表示虚三维。度量可用克罗内克记号表示，如下：

            （3—7）

              （3—8）

.                        （3—9）

坐标均取实数。图3－２是以二维形式表现虚、实空间之间的关系。在Ｋ系的标架之中，一共存在９个如图3－２所示的赝坐标面，其赝平面几何性质应该都是一样的。

现在来看赝空间的单位超球面，其方程为：

亦即：                                     （3—10）

在图3－2上表现为四支双曲线，实际上则是两个５维超曲面在赝坐标面上的截口曲线。其中h₂、h₄ 是实长，而h₁、h₃ 是虚长。若令（3－10）式右端趋于零，则方程变为：

               （3—11）

这是两个对顶超锥面的方程，在图3－2上则表现为坐标系Ｋ的两支分角线。式（3－11）表明的分量不必为零，但其长度为零。而表示与其自身正交，因此沿分角线的方向，或者说，沿超锥面（3－11）的母线方向为迷向方向。现在来研究图3－2的二维情形。根据（3－10）式可知，两支实长双曲线h₂、h₄的方程为：

                        (3—12)

此式表明，h₂、h₄诸点的矢经平方恒为－１，为虚单位园，因而分角线与h₂、h₄之间的区域面积取负值，也就是说，这两个区域是虚单位园（h₂、h₄）的外部，图3－2中表示为白色区域。而h₂ 和h₄的另一侧为内部，图中为深色区域。与此相反，双曲线h₁、h₃的方程为

                   （3—13）

此式表明h₁、h₃上诸点矢径平方恒为１，故为实单位园，因而其内外分判与h₂、h₄相反，即，h₁、h₃与分角线之间的区域为实单位园（h₁、h₃）的内部（深色区域），而h₁、h₃的另一侧为外部（白色区域）。拿此图与太极图3－１比较，则不难发现共同之处：此图的黑白区域是互补的，因此可见，迷向方向分隔的实长和虚长区域二者确实具有既对立又统一的关系。两个区域的内外相反，这一点在图3－2上也是十分清楚的。实际上太极图3－1上阴、阳两部份各有一个小园，（“太阴”和“太阳”），即可与图3—2的虚、实单位园相应，如此便可看出两个图是同构的。

现在设想太极图阳界的小园“太阳”收缩为一个实点，则阳界全为白色（点外）。再设想阴界的小园“太阴”膨胀为一个虚点，则阴界全为深色（点内）。同样的情况也会发生在图3－2，单位园h₂、h₄，膨胀为原点，则分角线的上下两部分变为全深色，可以看作是原点Ｏ的内部；而单位园h₁、h₃收缩为原点，则分角线左右两部份变为全白色，可以看作是原点Ｏ的外部，见图3－3：

（图3—3）

这个分析导致对赝空间的一种全新认识。以赝平面为例，据（3－10）和（3－11）的关系，可知坐标分角线是虚、实单位园半径趋于零的结果。又由于分角线上恒为零，故应把分角线看作是原点Ｏ的一部份。而且，分角线将赝平面分割成虚长和实长两部份，其中包含实轴的部份应该看作是点Ｏ的外部，这一点在图表3－3上表现至为明显，而包含虚轴的部份就应该看作是点Ｏ的内部。由于赝平面上每一点都存在与坐标分角线平行的迷向方向，故每一点都具有与Ｏ点同样的结构，这样的点称为赝点。于是现在可以两相比较地说，实点小之无内，虚点大之无外，而赝点则内外兼容。

虚平面的结论亦通用于３＋３＝６维空间，不过分角线和迷向方向应以超锥面（3－11）的母线代之。每个赝点应该包括该点上的超锥面（的所有母线）。