§5. 虚度量对力学的影响

 研究一个自由质点在虚三维空间中的运动。给定笛卡儿坐标系　　　　及标架，点的位置可由矢径确定：（以下在每个乘积之中对双秩标求和）

              （2-12）

标架向量满足如下关系：

             （2-13）

于是可知：

即：

                              （2-14）

质点的速度可以表示为矢径对实值时间的微商：

                    （2-15）

于是可得：

　                   (2-16)

据此，质点动能为：

                    （2-17）

此式表明虚度量空间中的运动系统具有负值动能。

再来看牛顿引力定律：

                             （2-18）

在虚长空间中有，故应有

                            （2-19）

右端的负号使引力变为斥力。引力使两质点内部靠拢而外部相离，而斥力则使两质点外部靠拢而内部相离。而所谓靠拢意为两点距离趋于零。这两种情形可表现于图形2－6和图形2－7：

（图2—6）                     （图2—7）

图２－６为实空间的情形，引力使m₁、m₂之内部互相靠拢。

图２－７为虚空间的情形，斥力使m₁、m₂之外部互相靠拢。

于是可以发现，两种情况下可以产生同样稳定的周期运动。以上的分析说明引力势Ｕ在虚度量空间应取负值。m₁的势为：

                               (2-20)

于是质量m₁在此场中的势能Ｗ亦应取负值：

                                 (2-21)

而总能量为动能与势能之和：

.                               (2-22)

此式说明在虚度量空间中的运动系统具有负能态，而且有一个明确的零上限。对于电、磁力可可以作同样的说明。然而，必竟这里的分析只是粗浅的。象质量m₁、m₂在两种空间中有何差异就难以判断，因为在这里它们与空间的几何性质没有明显的联系，虽然理论上这种联系是应该存在的。

如图形2－7描述的那种非逻辑世界是否具有实际意义，是一个值得研究的问题。但在进入下一章之前有必要涉及一下集论的问题。这是因为集论既有关于逻辑学，又有关于几何学，二者都是本文的论题。