§3. 零上限空间

 （图—4）

虚平面上有限域的面积取负值，那么负值的面积究竟应该如何理解呢？

现在来研究虚平面上的两个同心园C₁和C₂，见图形２－４。O点为园心。矢径可表示为，而满足关系式（2—2）。从而C₁、C₂的矢径方程分别为：

  以及                      （2-5）

其中园C₁的面积S₁为：

                           （2-6）

而园C₂的面积S₂则为：

由于，故而可知域  为园C₁的内部（无限一侧），而 为园C₁的外部（有限一侧）。于是可知是园C₁的外部面积，而不是内部面积。园C₂情况亦如是。

  现在令园C₁的半径  趋于零，即园C₁向原点O膨胀，直到 ，则此时园C₁的外部面积变为零，而园C₁膨胀变为原点O。这在实际上就说明，虚平面上的虚点是大之无外的。相应地，实平面上的实点则与此相反：小之无内。由于虚平面上任何有限域的面积均取负值，因此虚平面上的最大有限面积为零。这就是虚平面可以称之为二维的零上限空间的原因。相应地，实平面就是一种零下限空间，因为其最小有限面积为零。

另一方面，在任何平面上，只有有限域的面积具有算术意义。（不具算术意义。）而虚平面上的有限域只能是闭合边界的外部，因而虚平面上只讨论外部面积。而外部面积正是应当取负值。如，实质上可以看作是，意为原点O收缩成虚园C₁，即应从最大的外部面积 —— 零，减去C₁的外部面积。对比地看，实园面积如，意味着原点膨胀为园，因此应从最小内部面积 —— 零，加上园的内部面积。由此可见，面积取负值与取正值同样具有明确的意义。

以下的列表给出虚实平面上基本几何因素的对比。可以看出二者各自成体系。（其中以x, y表示笛卡儿坐标）

二维零上限空间的几何可以直接推广到三维空间。就三维虚长空间而言，单位体积 ，因此可知必为零上限空间。这里再一次指出，区别内外的唯一判据就是：大的包含小的。