§4. 逻辑系统

为了讲清楚什么是逻辑系统，本文提出一套形式化的描述方法，以便于精确地论述和研究。

逻辑系统（简称逻辑）包含五个基本成份，或称逻辑元素，它们是：

—— 逻辑键，即“是”与“非”，符号：“_”（字下线）“ˉ“（字上线）；

—— 逻辑运算，即“或”与“和”，符号：“∪”“∩”；

—— 序偶，即一切相对度量之结果，由比较所得，如“大”与“小”，“好”与“坏”，等等，符号：“G”，“S”；

—— 概念，即空间、时间及其中的一切事物对应之逻辑形态，每个概念可分解为外延与内涵，符号：“Ex”,“In”；

—— 范畴，反映概念之间的高低层次关系，符号：“H”，“L”。

以上诸项，均无法定义，现简要说明如次：

（一）              逻辑键（_ /ˉ）

实际上，逻辑学就是研究是非的学问。若无是非，即无逻辑。这里采用的符号“_”（字下线）和“ˉ”（字上线）适合于以后的形式化描述。设有概念名a，则a为“是a”，为“非a”。如果叠用是非，则有：

             。

在实用上，字下线恒可省略，亦即a = a。

（二） 逻辑运算（∪/∩）

符号“∪”（逻辑和，并集）、“∩”（逻辑积，交集）来自集论。由于是仅有的两个运算，二必择一，故若求非，有

       ,      。

（三） 序偶（G/S）

如大小，远近，快慢，冷热，等等，总是成对出现。其特征是与度量有关，如尺寸，距离，速度，温度，等等。比较事物之差别即为度量。两两相较即是相对度量，产生序偶。与一公共单位一一相较，即是绝对度量，产生数量。从语言学上看，序偶对应于形容词和副词，用于说明事物的属性。每对序偶独立，与其它序偶不相关。若对序偶求非，则有：

（四） 概念（Ex/In）

这是逻辑的主要成份。每个概念有一个名字。每个概念可分解为两部分：外延和内涵。一个概念若除去外延和内涵，就只剩下一个名字。现设一个概念名为，其外延以表示，而内涵以表示，则所谓外延律和内涵律可表示如下：

条件 称为对立条件，而 则称为统一条件。为空集，1为全集。。

外延律（1—1）意为类概念之外延等于其各个种概念外延之逻辑和（并）。内涵律（2—2）意为类概念之内涵等于其各个种概念内涵之逻辑积（交）。但此二式并未说明何为外延，何为内涵。下标i则正是与某序偶相关的度量。（1—1）、（1—2）两式都只含有一个下标，故此两式描述的是最简单的情形，即此概念仅有一种属性i。对于一般的多属性概念，其外延律及内涵律可以如下方式表示：

其中下标i、j、k、l称为秩标，所含下标的个数称为秩，而且m、n则为该秩所含种数。这种高秩表达式较为繁复，故以下的讨论多采用（1—1）、（1—2）两式，而所得的结论仍可不失其普遍性。

若将非键运用到逻辑表达式，可满足分配律，即：

.

比较左右两端，不难看出，这就是De Morgan公式。

对（1—1）、（1—2）两式的等号两端取非，则得非表达式：

亦即

比较（1—5）、（1—6）与（1—1）、（1—2）两式，可知二者相象，只是外延律与内涵律互易，非A的外延满足内涵律而内涵满足外延律。（1—5）、（1—6）两式亦说明，只要概念A的外延、内涵确定，则非A也就有了确定的外延和内涵。因此，在这个意义上，可以将非A（）亦看作是概念。

为了说明外延与内涵之间的关系，现在首先证明对于概念A有：

            (对立性)           （1-7）

因为，如果，则必既满足外延律又满足内涵律。据（1—1）、（1—2）两式可知必有

 以及 ，

从而有。此式说明外延包含内涵，于是内涵成了外延的一部份，从而内涵也必须满足外延律，而这是不可能的，因此（1—7）式必成立。亦即外延与内涵对立。

基于同样的理由，可知对于非A（）亦应有

 ,

此式两端取非即：

，

可得　　　     　.　　　　　（统一性）　　　     （1-8）

此式说明外延与内涵统一。于是外延与内涵既对立又统一。

现将（1—8）式两端对求逻辑积：

，

可得          ，

此式说明      。                                 （1-9）

再将（1—7）式两端取非，得，两端与求逻辑积, 可得：

 ,                               （1-10）

此式说明      .

（1—9）、（1—10）两式相反而又必同时成立，故有

 以及                      （1-11）

此式说明外延A与内涵A^*互补。“互补”一词来自集论。以上的证明说明对立统一和互补是等价的。对于一般概念，可知有.

至此已知，逻辑键，逻辑运算，序偶，概念都是由互补的两部分组成。范畴亦不应例外。

关于概念，这里要指出一点至为重要，即概念之中有两个特殊者，一为空间，一为时间。一般概念所对应之事物均存在于空间、时间之中，每一实在之事物必有其时间、地点，因此时间、空间都是事物存在的物理条件，而此种存在亦可名为物理存在。但时间、空间自身则非事非物，因而时间、空间自身就不能说是物理存在。这要涉及有无，已不是单纯的逻辑问题。

（五）              范畴(H/L)

概念集是一个不断增加和发展的体系，当然这不会是个无序的体系, 在其发展的一定程度上会出现层次关系，如是便产生范畴以反映层次关系。

基本概念源自感官，故可称为直观概念。而将已有概念构造成新概念的方法，可称为概念代数。实际上，概念按其对应之事物可划分为两大类，一类为名概念，与事物对应，在语言上表现为名词；另一类为动概念，对应于事物之间的关系，包括时间关系，空间关系，以及相互作用关系，统称物理关系，语言上则表现为动词。现以英文字符表示名概念, 以希腊字符表示动概念，则组合 表示A、B之间有逻辑关系，对应于事物A、B之间的一个实际关系。若给此组合一个名字C，便产生一个新概念：

  [注一]                      （1-12）

组合 又可称为简单结构，语言上则是一个典型的主、谓、宾结构，这是语言上最大量使用的基本结构。多个简单结构复合，便得到复杂结构，如：

                  （1-13）

但远不是所有逻辑结构都被命名为一个新概念。一般只有在一个结构经常出现、到处出现，从而在实用上有必要时才被命名为一个新概念。实质上结构可以看作是无名概念，逻辑上与概念有同等地位，在语言上亦被广泛使用。逻辑结构与事物结构的一致性则是实证科学的基本目标。

新概念或新的逻辑结构可分类如下：

（一） 有相类：可感知。

（a）    直观的：时空、相互作用关系上的常规事物，可以直接感知的；

（b）      非直观的：超常规事物，只可间接感知的，如太阳系，原子，电磁波，等等；

（二） 无相类：不可感知，只可认知。由无相关系构成，如心，原理，社会，政党，科学家，工程师，价值，等等。

其中无相类为人类这样的高等动物所特有，尽管人类对无相缺乏认识。

如此形成的新概念、新结构与原有的概念和结构之间即产生种种层次关系，从而出现种种范畴，如以下诸例：

以上面四对范畴微例，左方为“L”（Low），右方为“H”（High），其它范畴可依此类推。H、L亦为二择一的互补关系，故有

范畴数量有限，但内容丰富，而且深入涉及认识论的本质。但本文旨在非逻辑系统的导引，故不拟深入讨论范畴问题。不过如果有幸去研究各种文字在何时出现与范畴相应的词汇，那应该不失为一个有趣的课题。